números primos

Números primos: Guia definitivo para estudantes

Você já ouviu falar em números primos?

Esse termo tão comum nas aulas de matemática pode causar certa confusão em quem não tem tanta simpatia pelos números.

Ainda mais quando é preciso identificá-los.

Se você é uma dessas pessoas que tem dúvidas sobre esse tema, nós vamos te ajudar!

Nesse texto explicaremos, de uma vez por todas, como funcionam os números primos e, assim, desmistificar esse assunto que assombra tanta gente.

Vamos lá?

O que é um número primo?

Número primo, nada mais é do que todo e qualquer número natural, ou seja, inteiro e não negativo, maior que 1 e que só é dividido por 1 e por ele mesmo.

Veja um exemplo prático:

Dos números de 1 a 9, quais são primos?

  • 1 – não é primo, pois não é maior que 1, e só é divisível por ele mesmo.
  • 2 – é primo, pois é maior que 1, e é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.
  • 3 – é primo, pois é maior que 1, e é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.
  • 4 – não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2 e 4 (mais de duas divisões).
  • 5 – é primo, pois é maior que 1, e é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.
  • 6 – não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 3 e 6 (mais de duas divisões).
  • 7 – é primo, pois é maior que 1, e é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.
  • 8 – não é primo, pois pode ser dividido por 1, 2, 4 e 8 (mais de duas divisões).
  • 9 – não é primo, pois pode ser dividido por 1, 3 e 9 (mais de duas divisões).

Nessa análise, podemos notar que apenas os números 2, 3, 5 e 7 são primos.

Aliás, anote eles aí, pois serão essenciais para descobrirmos os outros números dessa categoria.

Quais são os números primos? (Exemplos de 1 a 1000)

Para descobrirmos quais são os números primos de 1 a 100, vamos aplicar algumas regras aos quatro primeiros números primos que encontramos.

Olha só: 

  • O número 1 é excluído, já que, como vimos, não se enquadra em nenhuma das características de números primos.
  • Os números pares, com exceção do 2, também são retirados, logo que são divisíveis por 2.
  • Assim como os múltiplos de 3 e de 7: Excluídos.
  • Os números finalizados em 5, com exceção dele mesmo, também são retirados por serem divisíveis por 5.

Seguindo essas regras, formamos a seguinte tabela (números primos de 0 a 100 em destaque):

12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100

Assim, encontramos 25 números, de 1 a 100, que não se enquadram em nenhuma das regras: os números primos.

Essa é uma metodologia chamada Crivo de Eratóstenes, e foi criada pelo matemático grego de mesmo nome, que viveu entre 285 e 194 a.C.

Para ser aplicada, basta encontrar os quatro primeiros números primos e excluir todos os seus múltiplos.

O Crivo de Eratóstenes  também pode ser aplicado em qualquer escala numérica. 

Por exemplo: 

Em uma escala entre 1 e 1.000, vamos encontrar 168 números primos, sendo eles:

235711131719232931374143
4753596167717379838997101103107
109113127131137139149151157163167173179181
191193197199211223227229233239241251257263
269271277281283293307311313317331337347349
353359367373379383389397401409419421431433
439443449457461463467479487491499503509521
523541547557563569571577587593599601607613
617619631641643647653659661673677683691701
709719727733739743751757761769773787797809
811821823827829839853857859863877881883887
907911919929937941947953967971977983991997

Como saber rapidamente quais números não são primos?

Para sabermos, de forma rápida, se um número é primo, ou não, precisamos dividi-lo por outros números primos.

Ao realizar a divisão, vamos analisar duas situações:

  • Se o resto da divisão for igual a 0, o número não é primo.
  • Se o resultado da divisão for menor do que o divisor e o resto não for igual a 0, ele é um número primo.

Observe:

  • O número 187 é primo? Se dividirmos por 17, que é um número primo, o resto da divisão será 0. Logo, 187 não é um número primo.
  • O número 199 é primo? Se dividirmos também por 17, um número primo, o resultado da divisão será 11 (menor que 17) e o resto será 12 (maior que 0). Logo, 199 é um número primo.

Para facilitar ainda mais, preparamos também uma lista com 6 regras de divisibilidade, que ajudarão na hora de identificar se um número é primo, ou não.

Mas, atenção!

Se o número analisado segue alguma dessas regras, ele não é primo, ok?

Confira:

1) Número par, com exceção do 2

Números pares são aqueles finalizados em 0, 2, 4, 6 ou 8. Por serem pares, são divisíveis por 2 e compostos, não primos.

Alguns exemplos de números pares: 

10, 22, 30, 42, 58, 64, 72, 88, 90

2) A soma dos algarismos resulta em um número divisível por 3.

Usamos como exemplo o número 321. 

A soma dos seus algarismos será 3+2+1 = 6 e, sendo 6 divisível por 3, 321 não é primo.

3) Se o número for divisível por 4

Todo número terminado em 00, ou que os dois últimos números são múltiplos de 4, é divisível por 4, logo, não são primos.

Por exemplo:

  • 1500 é divisível por 4, pois termina em 00
  • 1816 é divisível por 4, pois 16 é múltiplo de 4.
  • 1613 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 13 não é múltiplo de 4

4) Todo número finalizado em 5

Como vimos, se um número é finalizado em 5, ele será divisível por 5. Logo, não é primo.

5) Números divisíveis por 6

Um número é divisível por 6, se for par e se a soma dos algarismos dê um número múltiplo de 3.

Por exemplo: 

  • 264 é um número par e a soma de seus algarismos dá 12, que é múltiplo de 3. Logo, 264 é divisível de 6.
  • 436 é um número par, mas a soma de seus algarismos dá 13, que não é múltiplo de 3. Logo, 436 não é divisível de 6.

6) Caso o número for divisível por 7

Nesse caso, seguimos uma regra um pouco diferente.

Para descobrirmos se o número é divisível por 7, multiplicamos o último número por 2 e subtraímos o resultado pelos números que sobraram. 

Se o número final for múltiplo de 7, então é divisível por ele também.

Veja com o número 756:

  • multiplicamos o 6, por 2 e resulta em 12. 
  • Subtraímos, então, por 75 (75-12 = 63).
  • 63 é múltiplo de 7.
  • Logo, 756 é divisível por 7.

8 curiosidade sobre os números primos

  1. O 2 é o único número primo par;
  1. O 5 é o único número primo terminado em 5;
  1. A palavra “crivo” é um sinônimo de “peneira”;
  1. Números primos são utilizados no desenvolvimento de sistemas de segurança criptográficos;
  1. Em 2018, o profissional de Tecnologia da Informação norte-americano, Patrick Laroche, descobriu o maior número primo até hoje, possuindo 24.862.048 dígitos e nomeado como M82589933;
  1. Existe um projeto chamado Great Internet Mersenne Prime Search que paga 3.000 dólares a quem encontrar número primos com menos de 100.000 milhões de dígitos.
  1. Números primos são infinitos e variam de quantidade entre marcas numéricas (de 1 a 100, existem 25 números primos, de 101 a 200, existem 21, de 201 a 300, existem 16…)
  1. A primeira mensagem enviada ao espaço, como forma de se comunicar com seres extraterrestres, continha 1679 bits de informação e eram produtos dos números 23 e 73: números primos.

Afinal, números primos não são tão complexos assim, não é mesmo?

Termos matemáticos podem causar um pouco de frio na barriga quando não temos contato com eles cotidianamente.

Assim como tudo na matemática, os números primos estão presentes no nosso cotidiano de diversas formas, mesmo sem percebermos.

Mas, agora que você está por dentro do assunto, esse fantasma não te assombra mais!

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